Saat ini, dunia tengah mengalami masa pandemi yang disebabkan oleh virus corona. Virus corona atau nama lainnya Covid-19 ini berasal dari kota Wuhan, China. Sampai saat ini di beberapa negara termasuk Indonesia, jumlah kasus terkonfirmasi positif Covid-19 masih terus bertambah setiap harinya. Berbagai dampak kerugian telah banyak ditimbulkan dari adanya pandemi virus corona ini. Para ilmuwan tengah berusaha mencari vaksin yang tepat guna menekan tingkat penyebaran Covid-19 agar pandemi segera berakhir. Selain mencari vaksin Covid-19, strategi dalam mengendalikan penyebaran penyakit dapat dilakukan dengan membuat suatu model matematika untuk epidemi. Model matematika untuk epidemi dapat membantu dalam prediksi pengendalian epidemi di masa mendatang agar tidak terjadi pandemi.
Model matematika untuk epidemi yang paling sederhana dikenal dengan nama model SI, yang menunjukkan bahwa populasi yang sedang diamati terbagi menjadi dua kompartemen: sub populasi individu rentan terinfeksi S (Susceptible) dan sub populasi individu terinfeksi I (Infectives). Model SI ini dapat diperluas menjadi model SIR dengan menambahkan sub populasi individu yang sudah sembuh R (Recovery). Model SIR pertama kali dikenalkan oleh peneliti Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Selanjutnya apabila model dalam populasi terdapat kelompok individu E (Exposed/individu laten), yaitu individu yang terinfeksi tetapi tidak menularkan kepada individu lain, maka diperoleh model SEIR.
Diagram Kompartemen Model SIR
Individu rentan terinfeksi S (Susceptible) akan terinfeksi sehingga berubah menjadi individu yang terinfeksi I (Infectives), selanjutnya individu yang terinfeksi akan mengalami penyembuhan sehingga berubah menjadi individu yang telah sembuh R (Recovery). Perubahan individu rentan terinfeksi menjadi individu yang telah sembuh memerlukan waktu. Perubahan individu rentan terinfeksi menjadi individu yang telah sembuh dapat direpresentasikan dalam diagram kompartemen model SIR pada Gambar 1 berikut :
Contoh Kasus
Lalu bagaimana langkah awal membuat suatu model matematika sederhana untuk epidemi?
Sebagai gambaran akan disajikan contoh kasus model matematika untuk epidemi yang sederhanasebagai berikut,misalkan diberikan diagram kompartemen SIR :
Variabel dan parameter yang digunakan adalah:
- variabel S menyatakan banyaknya individu rentan terinfeksi (S ≥ 0),
- variabel I menyatakan banyaknya individu yang terinfeksi dan menularkan (I ≥ 0),
- variabel R menyatakan banyaknya individu yang telah sembuh (R ≥ 0),
- N menyatakan banyaknya individu dalam populasi (yaitu N=S+I+R),
- parameter B menyatakan tingkat kelahiran per satuan waktu,
- parameter β menyatakan tingkat terjadinya penularan per satuan waktu,
- parameter µ menyatakan tingkat kematian per satuan waktu,
- parameter α menyatakan tingkat kesembuhan per satuan waktu.
Perubahan banyaknya individu rentan terinfeksi (S) dipengaruhi oleh adanya pertambahan banyaknya individu yang lahir (B). Keadaan tersebut berkurang dengan adanya individu yang mati (µS) dan adanya tingkat penularan dari individu rentan terinfeksi menjadi individu terinfeksi (βSI). Sehingga diperoleh perubahan banyaknya individu rentan terinfeksi (S) terhadap satuan waktu (t) :
Perubahan banyaknya individu terinfeksi (I) dipengaruhi oleh adanya tingkat penularan dari individu rentan terinfeksi menjadi individu terinfeksi (βSI). Keadaan tersebut berkurang dengan adanya individu yang mati (µI) dan adanya tingkat kesembuhan dari individu terinfeksi menjadi individu yang telah sembuh (αI). Sehingga diperoleh perubahan banyaknya individu rentan terinfeksi (I) terhadap satuan waktu (t) :
Perubahan banyaknya individu yang telah sembuh (R) dipengaruhi oleh adanya tingkat kesembuhan dari individu terinfeksi menjadi individu yang telah sembuh (αI). Keadaan tersebut berkurang karena adanya individu yang mati (µR). Sehingga diperoleh perubahan banyaknya individu rentan terinfeksi (R) terhadap satuan waktu (t) :
Berdasarkan persamaan (1), (2) dan (3) maka diperoleh model matematika untuk epidemi dengan bentuk sistem persamaan diferensial nonlinier sebagai berikut :
Dari model epidemi (4) tersebut selanjutnya dicari solusi analitik yang tepat.
Model matematika untuk epidemi yang diperoleh dapat digunakan untuk memprediksi hal-hal seperti bagaimana suatu penyakit menyebar, jumlah total yang terinfeksi, durasi suatu epidemi, dan untuk memperkirakan berbagai parameter epidemiologi seperti angka rasio reproduksi dasar (Ro). Model tersebut dapat menunjukkan bagaimana intervensi kesehatan masyarakat yang berbeda dapat mempengaruhi hasil epidemi. Misalnya, teknik apa yang paling efisien untuk mengeluarkan sejumlah vaksin dalam populasi tertentu.
Penulis: Atika Ratna Dewi, M.Sc. ( Dosen Prodi Sains Data, ITTP )
